祖暅原理

原理简述

祖暅原理，又名等幂等积定理，内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那麽这两个几何体的体积相等。祖暅之《缀术》有云:缘幂势既同，则积不容异。

发现过程

等积原理的发现起源于《九章算术》中的答案是错误的。他提出的难方法是取每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽将其取名为牟合方盖。(古时人称伞为盖，牟同侔，意即相合。)根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三,显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。刘徽认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积。可怎麽也找不出求导牟合方盖体积的途径。

祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽牟合方盖的理论去进行体积计算，得出幂势相同，则积不容异的结论。势即是高，幂是面积。

在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但祖暅原理是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二者有异曲同工之妙。根据这一原理就可以求出牟合方盖的体积，然后再导出球的体积。

这一原理主要套用于计算一些复杂几何体的体积上面。在西方，直到17世纪，才由义大利数学家卡瓦列裏(Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为卡瓦列裏原理。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

半球体积的计算

由祖暅原理，半球与一个拥有与半球体相同横切面积和高的立体，即圆柱体中间切去一个圆锥体体积相同。

容易得体积为4/3×π×r^3(三分之四乘派乘半径的三次方)。

原理思想

我们都知道点动成线，线动成面，面动成体这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短;面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小;几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。

两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那麽这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那麽也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。