鸡爪定理

内容

设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC组成

的图形形似鸡爪，故形象地称为“鸡爪定理”。

证明

由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2

∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ

同理，∠ICJ=90°

∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径

∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB

∴KB=KI

由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点

∴KB=KI=KJ=KC

逆定理

设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。

证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。

取△ABC的内心I'和旁心J‘，根据定理有KB=KC=KI'=KJ'

又∵KB=KI=KJ

∴I和I'重合，J和J’重合

即I和J分别是内心和旁心

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