黄金三角形

作法

1、作正方形ABCD

2、取AB的中点N

3、以点N为圆心NC为半径作圆交AB延长线于E

4、以B为圆心BE长为半径作⊙B

5、以A为圆心AB长为半径作⊙A交⊙B于M

则△ABM为黄金三角形。

分类

黄金三角形有2种:

等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°;这种三角形既美观又标準。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比:(√5-1)/2.

等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°;这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比:(√5-1)/2.

特征

黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比.当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形.这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线.

勾为a，股为b=2a的直角三角形几何特征是:它是唯一一种能够由5个全等的小三角形生成其相似三角形的三角形。

把五个黄金三角形称为小三角形，拼成的相似黄金三角形称为大三角形。则命题可以理解为:五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。

根据定义，第一种黄金三角形是底与腰的比值为(√5-1)/2的等腰三角形，顶角为36°，底角为72°。

设小三角形的底为a，则腰为b=(√5-1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍。则大三角形的边长为小三角形对应边长的√5倍，即大三角形的底为A=√5 a，腰为B=√5 *(√5-1)a/2=(√5-5)a/2。

大三角形的腰B与小三角形边的关系满足:

B=2a+b

而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下:

2a

b

可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充(图1)。故命题错。

另外一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5-1)/2的等腰三角形，顶角为108°，底角为36°。

设小三角形的底为a，则腰为b=(√5-1)a/2。

同样可以证明:A=2b+a

2b

a

可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充(图2)。故命题错。

事实上，勾为a，股为b=2a的直角三角形可以满足命题要求。

显然，弦c=√a2+b2 =√5 a

大三角形的对应边:

A=√5 a=c

B=2A=2c

C=√5 *(√5a)=5a=2b+a满足上述必要条件。是否成立还要验证，结果是对的(图3)。本三角形是否唯一满足命题还不清楚。

顶角36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。顶角是108°的黄金三角形把顶角一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。